Equações diferenciais ordinárias (EDOs) são usadas para descrever diversos fenômenos naturais. Por um lado, permitem analisar sistemas de forma abrangente e abstrata; por outro, encontrar soluções gerais pode ser difícil até mesmo para problemas lineares. A inclusão de não linearidades torna o problema ainda mais complexo, entre outros motivos porque o princípio da superposição deixa de valer. Neste minicurso, apresentamos princípios simples e poderosos para compreender o conjunto de soluções de EDOs não lineares. Por meio de exemplos como lasers, junções de Josephson, modelo de Ising, circuitos elétricos, osciladores e reações químicas, discutimos conceitos como espaço de fases, ponto fixo, ciclo limite, órbitas atratoras, repulsoras e caóticas, além de bifurcações, nas quais uma solução se transforma em outra quando os parâmetros variam.

Material

O material (slides, simulações educacionais e scripts) pode ser baixado diretamente do meu repositório no GitHub.

Objetivos

• Compreender os fundamentos dos sistemas dinâmicos e suas aplicações na modelagem de sistemas físicos e biológicos.
• Analisar modelos reduzidos de EDOs em uma, duas e três dimensões por meio do espaço de fases e de bifurcações.
• Conhecer a periodicidade dos ciclos limite e os atratores estranhos.

Bibliografia

1. Strogatz, S. (2015) Nonlinear Dynamics and Chaos: with Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. Westview Press.
2. Abraham & Shaw 1992. Dynamics: the geometry of behavior. 2nd ed. Addison Wesley.
3. Monteiro LHA (2023) Sistemas Dinâmicos 4a ed. Livraria da Física.
4. Izhikevich E.M. (2007) Dynamical Systems in Neuroscience: The Geometry of Excitability and Bursting. The MIT press.
5. Y. Kuznetsov (2004) Elements of Applied Bifurcation Theory. Springer.